python最长回文子串动态规划_最长回文子串问题

问题描述

回文串是指aba、abba、cccbccc、aaaa这种左右对称的字符串。

输入一个字符串Str，输出Str里最长回文子串的长度。

方法一：暴力求解

遍历每一个子串，再判断这个子串是不是回文串，最后判断这个串是不是最长的回文子串。

遍历子串的复杂度是O(n^2)，判断是不是回文串的复杂度是O(n)，所以这个算法的复杂度是O(n^3)。

方法二：动态规划法

用一个二维的数组ai来表示从第i位到第j位的子串是不是回文串，在判断从i到j的子串是不是回文串时，可以先看i+1到j-1是不是回文串，再判断i位和j位是不是相同。这个算法中，遍历子串的复杂度仍然是O(n^2)，但是判断是不是回文串的复杂度降到了O(1)，所以这个算法的复杂度是O(n^2)。但是这个算法占据了O(n^2)的空间。

方法三：中心扩展法

顾名思义，任何一个回文串都有一个对称轴，从这个中心的位置开始，向两边扩展，可以得到以此为中心的最长回文串。但是要注意，这个对称轴的位置，可能是一个字符，也可能是两个字符中间。遍历对称轴的位置，复杂度是O(n)，找到以此对称轴为中心的最长回文串，其复杂度是O(n)，所以此算法的复杂度是O(n^2)。这个算法比动态规划好的地方是其空间复杂度只有O(1)。

#include

#include

using namespace std;

#define LEN 1000

int main(){

char str[LEN];

cin>>str;

int len=strlen(str);

int maxlen=0,mx;

for(int i=0;i

mx=1;

for(int j=1;(i-j>=0)&&(i+j

if(str[i-j]==str[i+j])

mx+=2;

else break;

}

maxlen=maxlen>mx?maxlen:mx;

}

for(int i=0;i

mx=0;

for(int j=0;(i-j>=0)&&(i+j+1

if(str[i-j]==str[i+j+1])

mx+=2;

else break;

}

maxlen=maxlen>mx?maxlen:mx;

}

cout<

return 0;

}

方法四：manacher算法

预处理

在字符串的开始加上一个’$’符，然后在每个字符中间插上一个’#’。比如，字符串ss=’abac’，处理之后是str=’$#a#b#a#c#’。接下来的计算针对处理后的字符串。

len数组

然后定义一个len数组，len[i]表示的是以str[i]为中心的最长回文串的半径。

仍以上面的字符为例。str=’$#a#b#a#c#’，以str[0]为中心的最长回文串是’$’，其半径是1;以str[4]为中心的最长回文串是’#a#b#a#’，其半径是4;len数组为{1,1,2,1,4,1,2,1,2,1}。可以发现，len[i]-1的值，就是原字符串ss中对应的回文串的长度(以#为中心的是偶长度的回文串，以字符为中心的是奇长度的回文串)。

计算len数组

算法的关键在于在计算len数组时，可以利用前面的结果进行优化。

引入变量maxright表示当前访问到的所有回文子串，所能触及的最右一个字符的位置;同时记录maxright所对应的回文串的对称轴的位置，记为pos。

复杂度分析

考虑p的值的变化，在计算的过程中，p只会增加不会减少，当p增加到strlen(str)时，每个位置的len数组的值都可以立即计算得出。所以算法的复杂度是O(n)。

#include

#include

#include

using namespace std;

#define N 100004

string str,ss;

int len[2*N+1];

int main()

{

cin>>ss;

str=”$#”;

for(unsigned int i=0;i

{

str+=ss[i];

str+=”#”;

}

// cout<

int pos=0,p=0,j=0;

len[0]=1;

for(unsigned int i=1;i

{

j=2*pos-i;

if(p>i)

len[i]=(len[j]>p-i)?(p-i):(len[j]);

else

len[i]=1;

while(i+len[i]=0&&str[i+len[i]]==str[i-len[i]])

len[i]++;

if(i+len[i]>=p)

{

pos=i;

p=i+len[i];

}

}

int ans=0;

for(int i=0;i

{

// cout<

ans=(len[i]-1>=ans)?len[i]-1:ans;

}

// cout<

cout<

return 0;

}