大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

前面的两篇文章比较清楚浅显的介绍了线性回归、多项式回归，并了解到其实多项式回归也可以看作是一种特殊的线性回归形式，也就是说回归的核心就是线性回归。其原理都是最小二乘法，这是一种很简单、很方便的算法，但也有它的局限性，所以本文讲述另外的回归方式岭回归、LASSO回归，作为一个补充，解决最小二乘法的一些缺点。

最小二乘法的局限性：

$\varpi = (X^{T}X)^{-1}X^{T}Y$

上面是最小二乘法的核心算法，通过公式我们可以看到该公式成立的条件就是 $(X^{T}X)$ 不等于0，也就是 $(X^{T}X)$ 能求逆（可以用linalg.det(X)等方法判断），而当变量之间的相关性较强（多重共线性），或者m(特征数)大于n(样本数)，上式中的X不是满秩矩阵。那就会使得 $(X^{T}X)$ 的结果趋近于0，造成拟合参数的数值不稳定性增加（参数间的差距变化很大），这也就是普通最小二乘法的局限性。

下面通过希尔伯尔矩阵来验证最小二乘法的局限性（希尔伯特矩阵每列之间存在很强的相关性）：

"""生成 10x10 的希尔伯特矩阵
"""
from scipy.linalg import hilbert
x = hilbert(10)

"""希尔伯特转置矩阵与原矩阵相乘
"""
import numpy as np
mat = np.linalg.det(np.matrix(x).T*np.matrix(x))  # det计算行列式 dot计算一维内积或多维矩阵相乘
print(mat)	# x.T*x 趋近于0

皮尔逊相关系数通常用于度量两个变量 X 和 Y 之间的线性相关程度，其值介于 -1 与 1 之间。其中，数值越趋近于 1 表示相关程度越高，反之趋近于 -1 则表示线性相关度越低。

在pandas中提供了直接计算相关系数的方法 .corr()，我们再来验证一下列之间的相关性：

pd.DataFrame(x, columns=['x%d'%i for i in range(1,11)]).corr()

可以看到，列之间的相关性是相当的大。

综上所示，普通最小二乘法带来的局限性，导致许多时候都不能直接使用其进行线性回归拟合，尤其是下面两种情况：

数据集的列（特征）数量 > 数据量（行数量），即 X 不是列满秩。
数据集列（特征）数据之间存在较强的线性相关性，即模型容易出现过拟合。

岭回归：

岭回归推导：

为了解决上述两种情况出现的问题，岭回归（Ridge Regression）应运而生。岭回归可以被看作为一种改良后的最小二乘法，它通过向损失中添加 $L_{2}$ 正则项（2-范数）有效防止模型出现过拟合，且有助于解决非满秩条件下求逆困难的问题，从而提升模型的解释能力。岭回归推导过程如下：

减少不重要的参数项，统计学中也叫“缩减”。更深入的解释，可以查看官方一点的文档。

通过scilit-learn提供的方法可以很方便的使用岭回归。

岭回归拟合：

sklearn.linear_model.Ridge(alpha=1.0, fit_intercept=True, normalize=False, copy_X=True, max_iter=None, tol=0.001, solver=’auto’, random_state=None)

alpha: 正则化强度，默认为 1.0，对应公式中的 λ。正则化强度; 必须是正浮点数。正则化改善了问题的条件并减少了估计的方差。较大的值指定较强的正则化。 Alpha对应于其他线性模型（如Logistic回归或LinearSVC）中的 $C^{-1}$ 。如果传递数组，则假定惩罚被特定于目标。因此，它们必须在数量上对应。
fit_intercept: 默认为 True，计算截距项。如果设置为false，则不会在计算中使用截距（例如，数据预期已经居中）。
normalize: 默认为 False，不针对数据进行标准化处理。如果为真，则回归X将在回归之前被归一化。当fit_intercept设置为False时，将忽略此参数。当回归量归一化时，注意到这使得超参数学习更加鲁棒，并且几乎不依赖于样本的数量。相同的属性对标准化数据无效。然而，如果你想标准化，请在调用normalize = False训练估计器之前，使用preprocessing.StandardScaler处理数据。
copy_X: 默认为 True，即使用数据的副本进行操作，防止影响原数据。
max_iter: 最大迭代次数，默认为 None。共轭梯度求解器的最大迭代次数。对于’sparse_cg’和’lsqr’求解器，默认值由scipy.sparse.linalg确定。对于’sag’求解器，默认值为1000。
tol: 数据解算精度。
solver: 根据数据类型自动选择求解器。{‘auto’，’svd’，’cholesky’，’lsqr’，’sparse_cg’，’sag’}
random_state: 随机数发生器。

更多的参数中文详解可以参考这里

比较重要的就是alpha参数的选择了，其代表了正则化强度，我们可以通过类似网格搜索的单层方式来得到不同的拟合结果（其中y值为随机创建的w乘上矩阵得到的）：

w = np.random.randint(2,10,10) # 随机生成 w 系数
y_temp = np.matrix(x) * np.matrix(w).T # 计算 y 值
y = np.array(y_temp.T)[0] #将 y 值转换成 1 维行向量  相当于给矩阵创建一个真实值

"""不同 alpha 参数拟合
"""
alphas = np.linspace(-3,2,20)
coefs = []
for a in alphas:
    ridge = Ridge(alpha=a, fit_intercept=False)
    ridge.fit(x, y)
    coefs.append(ridge.coef_)

"""绘制不同 alpha 参数结果
"""
from matplotlib import pyplot as plt
plt.plot(alphas, coefs) # 绘制不同 alpha 参数下的 w 拟合值 这里一共10条
plt.scatter(np.linspace(0,0,10), parameters[0]) # 普通最小二乘法拟合的 w 值放入图中
plt.xlabel('alpha')
plt.ylabel('w')
plt.title('Ridge Regression')
plt.show()

由图可见，当 alpha 取值越大时，正则项主导收敛过程，各 w 系数趋近于 0。当 alpha 很小时，各 w 系数波动幅度变大。所以可以选择收敛基本平稳的alpha点。

LASSO回归：

当我们使用普通最小二乘法进行回归拟合时，如果特征变量间的相关性较强，则可能会导致某些 w 系数很大，而另一些系数变成很小的负数。所以，我们通过上文中的岭回归添加 L2 正则项来解决这个问题。

与岭回归相似的是，LASSO 回归同样是通过添加正则项来改进普通最小二乘法，不过这里添加的是 L1 正则项。即：

这里关于L1、L2没有做很详细的解释，如果需要可以参考这里，简单说下：

L1：L1正则化最大的特点是能稀疏矩阵，进行庞大特征数量下的特征选择

L2：L2正则能够有效的防止模型过拟合，解决非满秩下求逆困难的问题

LASSO回归拟合：

sklearn.linear_model.Lasso(alpha=1.0, fit_intercept=True, normalize=False, precompute=False, copy_X=True, max_iter=1000, tol=0.0001, warm_start=False, positive=False, random_state=None, selection=’cyclic’)

alpha: 正则化强度，默认为 1.0。
fit_intercept: 默认为 True，计算截距项。
normalize: 默认为 False，不针对数据进行标准化处理。
precompute: 是否使用预先计算的 Gram 矩阵来加速计算。
copy_X: 默认为 True，即使用数据的副本进行操作，防止影响原数据。
max_iter: 最大迭代次数，默认为 1000。
tol: 数据解算精度。
warm_start: 重用先前调用的解决方案以适合初始化。
positive: 强制系数为正值。
random_state: 随机数发生器。
selection: 每次迭代都会更新一个随机系数。

"""使用LASSO 回归拟合并绘图
"""
from sklearn.linear_model import Lasso

alphas = np.linspace(-2,2,10)
lasso_coefs = []
for a in alphas:
	lasso = Lasso(alpha=a,fit_intercept=False)
	lasso.fit(x,y)
	lasso_coefs.append(lasso.coef_)

plt.plot(alphas,lasso_coefs)	# 绘制不同alpha下的 w 拟合值
plt.scatter(np.linspace(0,0,10),parameters[0])	# 普通最小二乘法的 w 放入图中
plt.xlabel('alpha')
plt.ylabel('w')
plt.title('Lasso Regression')
plt.show()